2015福州高三市质检数学理试题及答案

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福州市2014－2015学年度第一学期高三质量检查
理科数学试卷
（满分：150分;完卷时间：120分钟）

注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；
2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷 （选择题  共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中有且只有一个选项是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）
1． 如图，复平面上的点 到原点的距离都相等．若复数 所对应的点为 ，则复数 的共轭复数所对应的点为（　　）．
A．  B．
C．  D．
2． 已知 ，则 的值是（　　）．
A．2   B．  C．  D．
3． 已知   ，则“ ”是“ ”的（　　）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4． 某班有49位同学玩“数字接龙”游戏，具体规则按如图所示的程序
框图执行（其中 为座位号），并以输出的值作为下一个输入的值．
若第一次输入的值为8，则第三次输出的值为（　　）．
A．8 B．15
C．29 D．36
5． 如图，若在矩形 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（　　）．
A．  B．
C．  D．
6． 已知函数 的值域为 ，则函数 的定义域为（　　）．
A．  B．  C．  D．
7． 已知抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 ．现采用随机模拟试验的方法估计抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率：先由计算器产生0或1的随机数，用0表示正面朝上，用1表示反面朝上；再以每三个随机数做为一组，代表这三次投掷的结果．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
101   111   010    101    010   100   100   011   111    110
000   011   010    001    111　 011   100   000   101    101
据此估计，抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率为（　　）．
A．  B．  C．  D．
8．  的三个内角 所对的边分别为 . 若 ，则角 的大小为（　　）．
A．        B．     C．     D．
9． 若双曲线 （ ）的右焦点 到其渐近线的距离为 ，则双曲线 的离心率为（　　）．
A．       B．  C．2 D．4
10． 定义运算“ ”为： .若函数 ，则该函数的图象大致是（　　）．
 　 　 　
　　　A B C D
11． 已知 的三个顶点 的坐标分别为 ， 为坐标原点，动点 满足 ，则 的最小值是（　　）．
A．      B．    C．     D．
12． 已知直线 与曲线  没有公共点．若平行于 的直线与曲线 有且只有一个公共点，则符合条件的直线 （　　）．
A．不存在 B．恰有一条 C．恰有两条 D．有无数条
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置上．）
13． 若变量 满足约束条件 ，则 的最小值为　★★★　．
14． 已知 ，则 中的所有偶数的和等于　★★★　 ．
15． 已知椭圆 的左焦点为 ，点 是椭圆上异于顶点的任意一点， 为坐标原点．若点 是线段 的中点，则 的周长为　★★★　．
16. 若数列 满足 （ ），则称数列 为凹数列．已知等差数
列 的公差为 ， ，且数列 是凹数列，则 的取值范围为　★★★　．
三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.（本小题满分12分）
已知等比数列 的公比 ， ， 是方程 的两根．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前 项和 ．

18.（本小题满分12分）
“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动.假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.
（Ⅰ）若某被邀请者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？
（Ⅱ）假定（Ⅰ）中被邀请到的3个人中恰有两人接受挑战.根据活动规定，现记 为接下来被邀请到的6个人中接受挑战的人数，求 的分布列和均值（数学期望）.

19.（本小题满分12分）
已知函数 在同一半周期内的图象过点 ，其中 为坐标原点， 为函数 图象的最高点， 为函数 的图象与 轴的正半轴的交点．
（Ⅰ）试判断 的形状，并说明理由．
（Ⅱ）若将 绕原点 按逆时针方向旋转角 时，顶点 恰好同时落在曲线  上（如图所示），求实数 的值．

20.（本小题满分12分）
一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用 （ 且 ）个单位的药剂，药剂在血液中的含量 （克）随着时间 （小时）变化的函数关系式近似为 ，其中
(Ⅰ)若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？
(Ⅱ)若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用 个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求 的最小值．

21.（本小题满分12分）
已知抛物线 的顶点为坐标原点，焦点为 ．
（Ⅰ）求抛物线 的方程；
（Ⅱ）若点 为抛物线 的准线上的任意一点，过点 作抛物线 的切线 与 ，切点分别为 ，求证：直线 恒过某一定点；
(Ⅲ)分析(Ⅱ)的条件和结论，反思其解题过程，再对命题(Ⅱ)进行变式和推广．请写出一个你发现的真命题，不要求证明（说明：本小题将根据所给出的命题的正确性和一般性酌情给分）．

22.（本小题满分14分）
已知函数 ，其中 是自然对数的底数．
（Ⅰ）判断函数 在 内的零点的个数，并说明理由；
（Ⅱ） ，使得不等式 成立，试求实数 的取值范围；
（Ⅲ）若 ，求证： ．
 
福州市2014－2015学年度第一学期高三质量检查
理科数学试卷参考答案及评分细则
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．C 2．B 3．A 4．A 5．B 6．D
7．B 8．C 9．C 10．D 11．B 12．C
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，
13．  14．32 15．  16．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．
17． 本题主要考查一元二次方程的根、等比数列的通项公式、错位相减法求数列的和等基础知识，考查应用能力、运算求解能力，考查函数与方程思想．
解：（Ⅰ）方程 的两根分别为1,2， 1分
依题意得 ， ． 2分
所以 ， 3分
所以数列 的通项公式为 ．  4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， 5分
所以 ， ①
 ， ②
由①－②得
   ， 8分
即   ， 11分
所以 ．  12分
18．本题主要考查离散型随机变量的概率、分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．
解法一：（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为 、 、 ，则 分别表示这3个人不接受挑战．
这3个人参与该项活动的可能结果为： ， ， ， ， ， ， ， ．共有8种； 2分
其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有： ， ， ， ，共有4种．  3分
根据古典概型的概率公式，所求的概率为 ． 4分
（说明：若学生先设“用 中的 依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑战的情况”，再将所有结果写成 , , ， , , , , ，不扣分．）
（Ⅱ）因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，
所以每个人接受挑战的概率为 ，不接受挑战的概率也为 ． 5分
所以 ， ，
 ， ，
 ， ，
   9分
故 的分布列为：
 
0 1 2 3 4 5 6
 
 
 
 
 
 
 
 

10分
所以 ．
故所求的期望为 ． 12分
解法二：因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，
所以每个人接受挑战的概率为 ，不接受挑战的概率也为 ． 1分
（Ⅰ）设事件M为“这3个人中至少有2个人接受挑战”，
则 ． 4分
（Ⅱ）因为 为接下来被邀请的6个人中接受挑战的人数，
所以 ． 5分
所以 ， ，
 ， ，
 ， ，
   9分
故 的分布列为：
 
0 1 2 3 4 5 6
 
 
 
 
 
 
 
 

10分
所以 ．
故所求的期望为 ．  12分
19．本题主要考查反比例函数、三角函数的图象与性质、三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、两角和的正弦公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．
解法一：（Ⅰ） 为等边三角形． 1分
理由如下：
因为函数 ，
所以 ，所以函数 的半周期为4，
所以 ． 2分
又因为 为函数 图象的最高点，
所以点 坐标为 ，所以 ， 4分
又因为 坐标为 ，所以 ，
所以 为等边三角形．  6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，
所以点 , 的坐标分别为 , ， 7分
代入 ，得 ，
且 ， 9分
所以 ，结合 ， ，
解得 ， 11分
所以 ，所以所求的实数 的值为4． 12分
解法二：（Ⅰ） 为等边三角形．  1分
理由如下：
因为函数 ，
所以 ，所以函数 的半周期为4，所以 ， 2分
因为 为函数 的图象的最高点，
所以点 坐标为 ，所以 ，所以 ． 4分
又因为直线 的斜率 ，所以 ，
所以 为等边三角形．  6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，
所以点 , 的坐标分别为 , ， 7分
因为点 , 在函数 的图象上，
所以 , 8分
所以 , 9分
消去 得，  ，
所以 ，
所以 ，所以 ， 10分
又因为  ，所以 ，所以 ， 11分
所以 ．所以所求的实数 的值为4． 12分
解法三：（Ⅰ）同解法一或同解法二；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 为等边三角形．
因为函数 的图象关于直线 对称， 8分
由图象可知，当 时，点 , 恰在函数 的图象上． 10分
此时点 的坐标为 ， 11分
所以 ，所以所求的实数 的值为4． 12分
20． 本题主要考查分段函数模型的应用问题、一元二次函数的最值、解不等式等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类讨论思想等．
解：（I）因为 ，所以 ． 1分
当 时，由 ，解得 ，此时 ； 3分
当 时，由 ，解得 ，此时 ． 5分
综上所述， ．
故若一次服用3个单位的药剂，则有效治疗的时间可达 小时． 6分
（Ⅱ）当 时， ， 8分
因为 对 恒成立，
即 对 恒成立，
等价于 ， ． 9分
令 ，则函数 在 是单调递增函数， 10分
当 时，函数 取得最大值为 ， 11分
所以 ，所以所求的 的最小值为 ． 12分
解法二：（Ⅰ）同解法一；
（Ⅱ）当 时， ， 8分
注意到 及 （ 且 ）均关于 在 上单调递减，
则 关于 在 上单调递减， 10分
故 ，由 ，得 ， 11分
所以所求的 的最小值为 ． 12分
21． 本题主要考查抛物线的标准方程与性质、直线与抛物线的位置关系、归纳推理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等．
解：（Ⅰ）依题意可设抛物线 的方程为： （ ）． 1分
由焦点为 可知 ，所以 ． 2分
所以所求的抛物线方程为 ． 3分
（Ⅱ）方法一：
设切点 、 坐标分别为 ，由（Ⅰ）知， ．
则切线 的斜率分别为 ，
故切线 的方程分别为 ， ， 4分
联立以上两个方程，得 .故 的坐标为 ， 5分
因为点 在抛物线 的准线上，所以 ，即 ． 6分
设直线 的方程为 ，代入抛物线方程 ，得 ，
所以 ，即 ，所以 ． 7分
故 的方程为 ，故直线 恒过定点 ． 8分
方法二：设切点 、 坐标分别为 ，设 ，
易知直线 斜率必存在，可设过点 的切线方程为 ．
由 ，消去 并整理得 ． ①
因为切线与抛物线有且只有一个交点，
所以 ，整理得 ， ②
所以直线 斜率 为方程②的两个根，故 ， 4分
另一方面，由 可得方程①的解为 ，
所以 ． 5分
假设存在一定点，使得直线 恒过该定点，则由抛物线对称性可知该定点必在 轴
上，设该定点为 ， 6分
则 ．
所以 ，
所以 ，整理得
所以 ，
所以  7分
所以直线 过定点 ． 8分
（Ⅲ）结论一：若点 为直线 （ ）上的任意一点，过点 作抛物线  （ ）的切线 ，切点分别为 ，则直线 恒过定点 ． 12分
结论二：过点 （ ）任作一条直线交抛物线 于 两点，分别以点 为切点作该抛物线的切线，两切线交于点 ，则点 必在定直线 上． 12分
结论三：已知点 为直线 上的一点，若过点 可以作两条直线与抛物线  （ ）相切，切点分别为 ，则直线 恒过定点 ． 12分
说明：①以上两结论只要给出其中一个即可或给出更一般性的结论；
②以上两结论中的抛物线开口方向均可改变；
③该小题评分可对照以下表格分等级给分：
得分 答题情况
0分 写出与命题（ⅰ）无关的结论．
 所给命题的条件与结论均存在问题．
1分 将准线或抛物线改为其它特殊情况，结论正确.
 将准线或抛物线其中一个一般化，但结论中的定点（或定直线）有误．
2分 写出命题的逆命题，结论正确.( 其它分点逆命题相应给分)
 将准线和抛物线都推广成一般情况，但结论中的定点（或定直线）有误．
3分 将准线和抛物线其中一个推广成一般情况，结论正确．
 将准线和抛物线都推广成一般情况，但 中漏写一个或两个．

4分 将准线和抛物线都推广成一般情况，结论正确．
22．本题主要考查函数的零点、函数的导数、导数的应用、不等式的恒成立等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．
解：（Ⅰ）函数 在 上的零点的个数为1． 1分
理由如下：
因为 ，所以 ． 2分
因为 ，所以 ，
所以函数 在 上是单调递增函数． 3分
因为 ， ，
根据函数零点存在性定理得
函数 在 上的零点的个数为1． 4分
（Ⅱ）因为不等式 等价于 ，
所以  ，使得不等式 成立，等价于
 ，即 ． 6分
当 时， ，故 在区间 上单调递增，所以 时， 取得最小值 ． 7分
又 ，由于 ，
所以  ，故 在区间 上单调递减，
因此， 时， 取得最大值 ． 8分
所以 ，所以 ．
所以实数 的取值范围是 ． 9分
（Ⅲ）当 时，要证 ，只要证 ，
只要证 ，
只要证 ，
由于 ，只要证 ． 10分
下面证明 时，不等式 成立．
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
所以当且仅当 时， 取得极小值也就是最小值为1．
令 ，其可看作点 与点 连线的斜率，
所以直线 的方程为： ，
由于点 在圆 上，所以直线 与圆 相交或相切，
当直线 与圆 相切且切点在第二象限时，
直线 取得斜率 的最大值为 ． 12分
故 时， ； 时， ． 13分
综上所述，当 时， 成立．  14分
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