2015上海市五校高三联考数学文试题及答案

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2014学年第一学期高三数学五校联合教学质量调研试卷（文科）
                                       
考生注意：
1、本试卷考试时间120分钟，试卷满分150分。
2、答题前，考生务必在试卷和答题纸的指定位置以及答题卡上准确填写学校、姓名、
考号等信息。
3、考试结束只交答题卡和答题纸。

一、填空题：（本大题共14题，每题4分，共56分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．）
1．已知 为角 终边上的一点，则          ．
2．已知向量 ，若 ，则 ＝________．　
3．已知幂函数 过点 ，则 的反函数为          ．
4．已知集合 ， ，则        ．
5．若无穷等数列 满足： ，则首项 的取值范围为       ．
6．若直线 平分圆 的面积，则直线 的倾斜角为          ．（用反三角函数值表示）
7．若函数 在区间 上是增函数，则 的取值范围是______．
8. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为           升．
9. 已知 ，且 ，则      .
10. 等差数列 的前n项和为 , ,若总有 ，则正整数 　　 .
11. 在正 中， 是 上的点，若 ，则         ．

12．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点 ，并且经过点 ，若点M到该抛物线焦点的距离为3，则        ．
13. 已知函数  ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是         .
14. 求“方程 的解”有如下解题思路：设函数 ，则函数 在 上单调递减，且 ，所以原方程有唯一解 ．类比上述解题思路，方程 的解集为          ．
二、选择题：（本大题共4题，每题5分，共20分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.）
15．已知命题 ，命题 ，则命题 是命题 成立的（     ）
A．充分不必要条件                    B．必要不充分条件 
C．充分必要条件                      D．既不充分也不必要条件
16．下列函数中，既是偶函数，又在区间 上单调递减的函数为（　  ）
A.            B.         C.         D. 
17．已知直线 和直线 ，则下述关于直线 关系的判断正确的是（　 ）
A. 通过平移可以重合                    B. 不可能垂直  
C. 可能与 轴围成等腰直角三角形        D. 通过绕 上某点旋转可以重合
18．某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数 与该班人数 之间的函数关系用取整函数 （其中 表示不大于 的最大整数）可以表示为（    ）
A．      B．       C．       D．

三、解答题：（本大题满分74分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .）
19.（本题满分12分）第1小题满分7分，第2小题满分5分．
如图所示为函数 ( )的部分图象,其中 .
（1）求函数 的单调递减区间；
（2）若 时，求 的最值及相应 的值．

20.（本题满分14分）第1小题满分7分，第2小题满分7分．
已知 为数列 的前 项和，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）在 中，角 所对的边分别是3， ， ，求 的面积．

21.（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知椭圆 长轴的一个端点是抛物线 的焦点，且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若 、 是椭圆 的左右端点， 为原点， 是椭圆 上异于 、 的任意一点，直线 、 分别交  轴于 、 ，问 是否为定值，说明理由．

22. （本题满分16分）第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分．
由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项.按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列” ，将构图边数增加到 可得到“ 边形数列”，记它的第 项为 ，
   
   1，3，6，10        1，4，9，16          1，5，12，22         1，6，15，28
（1）求使得 的最小 的取值；
（2）问3725是否为“五边形数列”中的项，若是，为第几项；若不是，说明理由；
（3）试推导 关于 、 的解析式.

23. （本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
若函数 在定义域内存在实数 ，满足 ，则称 为“局部奇函数”．
（1）已知函数 ，试判断 是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（2）设 是定义在 上的“局部奇函数”，求实数 的取值范围；
（3）若 为定义域 上的“局部奇函数”，求实数 的取值范围．[来

2014学年第一学期高三数学五校联合教学质量调研试卷答案 （文科）
一、填空题
1、                     2、                3、           
4、                 5、         6、
7、                  8、                  9、      
10、                    11、                 12、
13、    14、
二、选择题
15、     16、     17、     18、
三、简答题
19、（1）由已知 两点的水平距离为 ，则 ， ， ，
得 .                            …2分
又 ，得 ，因 ，故
    则                              …5分
由
故函数 的单调递减区间为      …7分
（2）由               …8分
故                               …10分
 ．                             …12分
20、（1）当 时，                                   …1分
     当 时，由 ，两式相减，得
      （ ）                     …5分
则数列 是首项为2，公比为2的等比数列，故       …7分
（2）由（1）得，                                    …8分
在 中，        …10分
则   …14分

21、（1）根据条件可知椭圆的焦点在 轴，且 ，          …2分
又 ，所以   
故椭圆 的标准方程为 ．                        …6分
（2）设 ，则 ，且     
又直线 ，直线    …10分
令  ，得：            
故   为定值.                  …14分

22、（1） ,                                  …3分
     由题意得 ,
     所以,最小的 .                                          …5分
（2）由 
     则   …8分
若 或 （舍）
故3725是“五边形数列”中的第50项                         …10分
（3）设 边形数列所对应的图形中第 层的点数为 ，则
从图中可以得出：后一层的点在 条边上增加了一点，两条边上的点数不变，
    所以 ，                                
即 是首项为1公差为 的等差数列                    …14分
故 .(或 等)       …16分

23、（1） 为“局部奇函数”等价于关于 的方程 有解．
即 有解            …2分
因 ，得 
 为“局部奇函数”．                                   …4分
 （2）存在实数 满足 ，即 在 有解 
令 ，
则 在 上有解                                  …7分
因为 在 上递减，在[1,2]上递增，     
 ，故                                …10分
（3）存在实数 满足 ，
即 在 有解
令 ，且           
从而 （*）在 上有解         …13分
    若 ，即 时，则方程（*）在 上有解
    若 ，即 或 时，结合图像，方程（*）有解，则
   
  综上，所求 的取值范围为  ．                        …18分
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