2015云南红河州高三检测数学理试题及答案

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红河州2015届高三毕业生复习统一检测数学（理）试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。考试结束后，将答题卡交回。满分150分，考试用时l20分钟。
注意事项：  
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。   
2.第一卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试卷上的答案无效。
第I卷（选择题  共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。   
1．已知集合 ， ，则集合 （       ）
A.    B.    C.    D. 
2．设 是虚数单位，若复数 满足 ，则复数 （       ）
A．    B．   C．   D．
3．若 为实数，则“ ”是“ 或 ”的（       ）条件
  A．充分必要  B．充分而不必要  
C．必要而不充分  D． 既不充分也不必要

4. 一几何体的三视图如图，其中侧（左）视图和俯视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正（主）视图为直角梯形，则此几何体体积的大小为（      ）

A．12                      B．16              C．48                      D．64
5．从某校高三100名学生中采用系统抽样的方法抽取10名学生作代表，学生的编号从00到99，若第一组
中抽到的号码是03，则第三组中抽到的号码是（       ）
A.      B .    C.    D. 
6．已知直线 和平面 ，则能推出 的是（    ）
A. 存在一条直线 ， ，且  B. 存在一条直线 ， ，且   
C. 存在一个平面 ， ，且   D. 存在一个平面 ， ，且
7．若函数 的最小正周期为1，则函数 的一个零点为（    ）
A.                                    B.                         C.    D. 
8．执行如图所示的程序框图，若输入  ，则输出 的取值范围是

A．          B． 　　　
C． 　　　D．
9．若直线 与曲线 有公共点，则 的取值范围是（       ）
A.  　        B.   C.       D. 
10. 某班有50名学生，一次数学考试的成绩 服从正态分布 ，已知 ，
估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（       ）
A. 10                                  B. 9                             C. 8                       D. 7
11.双曲线 与曲线 的交点恰为某正方形的四个顶点，则双曲线的离心率为（  ）
A．   B.    C.    D. 

12. 已知函数 ，方程 有四个不同的实数根，则 的取值范围为 （     ）                                            
A.  　  B.    C.         D. 
第Ⅱ卷（非选择题  共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．已知 ，则 的展开式中含 项的系数为          （用具体数字作答）。
14．如图，山上原有一条笔直的山路 ，现在又新架设了一条索道 ，某人在山脚 处看索道 ，发现张角 ；从 处攀登400米到达 处，回头再看索道 ，发现张角 ；从 处再攀登800米到达 处，则索道 的长为 米。       

15.在无重复数字的三位数中， 数字2在3的左侧（不一定相邻）的三位数有　　   　　 个（用具体数字作答）。

16. 如图，从一点 引出三条射线 与直线 分别交于 三个不同的点，则下列命题正确的是                        。
①若 ，则 ；
②若先引射线 与 交于 两点，且 恰好是夹角为 的单位向量，再引射线 与直线 交于点 （ 在 之间），则 的面积 的概率是 ；
③若 ， 和 的夹角为 ， 和 的夹角为 ，则 ；
④若 为 中点， 为线段 上一点（不含端点），且 ，过 作直线 分别交射线 于 ，若 ，则 的最大值是 。
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本题满分12分 ）
已知数列 的各项均为正数,  为其前 项的和，且对于任意的 ,都有 。
（1）求 的值和数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 。

18.（本题满分12分 ）
设不等式 确定的平面区域为 ， 确定的平面区域为 。
（1）定义：横、纵坐标均为整数的点为“整点”，在区域 内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域 的概率；
（2）在区域 内任取3个点，记这3个点在区域 的个数为 ，求 的分布列和数学期望。

19.（本题满分12分 ）
如图，△ 中， ，点 分别是 、 的中点，且 ，现将△ 沿着边 折起到△ 位置，使 ⊥ ，连结 、 。
（1）求证： ⊥ ；
（2）求二面角 的平面角的余弦值。

20.（本题满分12分 ）
已知点 是抛物线 上一点， 为抛物线的焦点，准线 与 轴交于点 ，
已知 ，三角形 的面积等于8。
（1）求 的值；
（2）过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线 ，与抛物线相交得两条弦，两条弦的中点分别为 ，求 的最小值。

21.（本题满分12分 ）
已知函数 在 处的切线 与直线 垂直，函数 。
（1）求实数 的值；
（2）若函数 存在单调递减区间，求实数 的取值范围；
（3）设 是函数 的两个极值点，若 ，求 的最小值。

选考题：本小题满分10分
请考生在第22、23、24三道题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，
交AD的延长线于点E。
（1）求证：AB2＝DE•BC；
（2）若BD＝9，AB＝6，BC＝9，求切线PC的长。                     

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），直线 与曲线 交于 两点 。
（1）求线段 的长；
（2）以 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 的极坐标为 ，求点 到线段 中点 的距离。

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数 。
（1）证明：当 时，不等式 成立；
（2）关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的最大值。
 
2015年红河州高中毕业生复习统一检测
理科数学参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B D B B B C A C D B B A
二、填空题
13.      14.      15.23     16. ①③
三、解答题
17. 解：（1） 时，                  
             时，                  ……… （3分）
 时，
            
 
              
               
              是以为1首项，2为公差的等差数列                   
                                              ……… （6分）
        （2）                     ……… （8分）
                                     
                                     .……… （12分）
18.解 （1）依题可知平面区域 的整点为 共有13个，
  平面区域 的整点为 共有5个，                          …2分
 ∴      ……4分
（2）依题可得：平面区域 的面积为： ，平面区域 的面积为： ，
在区域 内任取1个点，则该点在区域 内的概率为 ，                 …………5分
易知： 的可能取值为 ，                                         …………6分[
且  ，
 …10分
∴ 的分布列为：
  
0 1 2 3
 
 
 
 
 

                                                              …………11分
∴ 的数学期望： ……12分
（或者：  ，故 ）
19. 解：（1）∵点D是 的中点，且 ，
所以点B在以点D为圆心，RC为半径的圆上，
所以∠RBC=90º，                                              …… 2分
又因为点A是 的中点，
∴ ，
∴∠ =90º，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ⊥平面 ，                                              …… 4分
∵ 平面 ，
∴                                                     …… 6分
（2）法1：取 的中点 ，连结 、 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴ ，   
∵
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴ ，
∴∠ 是二面角 的平面角，                            ……9分
在Rt△ 中， ，
在Rt△ 中， ， .
∴ 二面角 的平面角的余弦值是 .                   ……12分
法2：建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 （－1，0，0）， （－2，1，0）， （0，0，1）.
∴ =（－1，1，0）， =（1，0，1），       ……8分
设平面 的法向量为 =（x，y，z），则：
 ，
令 ，得 ，∴ =（1，1，－1），
显然， 是平面 的一个法向量， =（  ），                  ……10分
∴cos< ， >= ，
∴二面角 的平面角的余弦值是 .                         ……12分
20. 解：（Ⅰ）设 ，因为抛物线的焦点 ，准线 的方程为： 作 于
，
则                                             …………1分
 ，       …2分
 ，而点A在抛物线上，
 .                         ……………4分
又                     ………………6分
（Ⅱ）由 ，得 ，显然直线 ， 的斜率都存在且都不为0.
设 的方程为 ，则 的方程为 .
    由  得 ，同理可得              .………8分
   则
=  .（当且仅当 时取等号）
所以 的最小值是8.                                          …………12分
21. 解： ∵ ，∴ .                       …………1分
 ∵ 与直线 垂直，∴ ，∴  .            …………3分
（2） 由题知 在 上有解， 设 ，则 ，所以只需 故b的取值范围是 .               ………8分
(3)  ，所以令       
 
所以设  
  ，所以 在 单调递减， 
   ，
故所求的最小值是                                                 …………12分
22. 解：证明　∵AD∥BC，∴ .
∴AB＝CD，∠EDC＝∠BCD.
又PC与⊙O相切，∴∠ECD＝∠DBC.
∴△CDE∽△BCD.∴DCBC＝DEDC.
∴CD2＝DE•BC，即AB2＝DE•BC.
(2)解　由(1)知，DE＝AB2BC＝629＝4，
∵AD∥BC，∴△PDE∽△PBC，
∴PDPB＝DEBC＝49.
又∵PB－PD＝9，
∴PD＝365，PB＝815.∴PC2＝PD•PB＝365•815＝54252.∴PC＝545.

23. 解 （Ⅰ）直线 的参数方程的标准形式为 （ 为参数），代入曲线 得 ．
设 ， 对应的参数分别为 ， ．则 ， ．
所以 ．              …………………………………… 5分
（Ⅱ）由极坐标与直角坐标互化公式得点 的直角坐标 ．所以点 在直线 ．
中点 对应参数为 ，由参数 几何意义，所以点 到线段 中点 的距离 ．                           ………………………………… 10分
 
24. 解 (1) ： 的最小值为3
 ，所以 成立.              (5分)
(2) 由绝对值的性质得
 ，
所以 最小值为 ，从而 ，解得 ，因此 的最大值为2.    (10分)
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