2015湖南省长郡中学高三月考数学文试题及答案

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长郡中学2015届高三第五次月考数学文试题
    本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。时量120分钟。满分150分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，集合B={3，4}，则（ B=
   A．{3}      B．{4}
   C．{3，4}      D．{2，3，4}
2．在复平面内，复数3 -4i，i（2+i）对应的点分别为A、B，则线段AB的中点C对应的复数为
 A．- 2+21      B．2- 21
  C．-l十i      D．l-i
3．“m< ”是“方程x2+x+m=0有实数解”的
   A．充分而不必要条件     B．必要而不充分条件
   C．充分必要条件      D．既不充分也不必要条件
4．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该
  几何体的体积是
   A．108 cm3
   B．100 cm3
   C．92 cm3   
 D．84 cm3
5．定义在R上的函数 满足 ． 为
   的导函数，已知函数y= 的图象如图所
  示．若两正数a，6满足 ，则 的取
  值范围是
   A．（ ）     B．
   C．（ ，3）     D．
6．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为
   A．20℃     B．20．5℃     C．21℃     D．21．5℃
7．过双曲线 的左焦点F（一c，0）作圆 '的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2 =4cx于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为
 A．  B．  C． ＋1 D．
8．设函数 ，集合 ，设c1≥c2≥c3≥c4，则c1—c4=
   A．11     B．13     C．7     D．9
9．在△ABC中，已知 S△ABC=6，P为线段AB上的一点，且 则 的最小值为
 A．      B．        C．     D． +
10．已知m∈R，函数 ,若函数 有6个零点，则实数m的取值范围是
 A．  B．  C．  D．（1，3） 
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
11．已知实数z∈[0，10]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于47概率为          。
 

12．在极坐标系中，圆 与 所表示的图形的交点的极坐标是____．
13．设b，c表示两条直线， 表示两个平面，现给出下列命题：
  ①若b a，c∥a，则b∥c；
  ②若b a，b∥c，则c∥a；
  ③若c∥ ， ⊥ lp，则c⊥ ;
  ④若c∥a，c⊥ ，则a⊥ ．
  其中正确的命题是    ．（写出所有正确命题的序号）
14．设x为实数，[x]为不超过实数x的最大整数，记{x}=x一[x]，则{x}）的  取值范围为[0，1）．现定义无穷数列{an}如下：a1={a}，当an≠0时，以 ；当an=0时，an+1=0．当 时，对任意的自然数n都有an=a，则实数a的值为____．
15．给机器人输入一个指令（m，2m+48）（m>0），则机器人在坐标平面上先面向x轴正方向行走距
离m，接着原地逆时针旋转90°再面向y轴正方向行走距离2m+ 48，这样就完成一次操作．机
器人的安全活动区域是： 开始时机器人在函数 图象上的点P处且面向x，轴正
  方向，经过一次操作后机器人落在安全区域内的一点Q处，且点Q恰好也在函数 图象上，则向量 的坐标是           ，
三、觯答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
  设函数 =m．n，其中向量m=（2cos x，1），n=（cos x， sin 2x），x∈R．
  （1）求 的最小正周期与单调递减区间；
  （2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知 △ABC的面积为 ，求 的值．

17．（本小题满分12分）
  某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷进行统计，得到相关的数据如下表：
 
（1）由表中数据直观分析，节能意识强弱是否与人的年龄有关？并说明原因．
（2）据了解到，全小区节能意识强的人共有350人，估计这350人中，年龄大于50岁的有多少人？
（3）按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽5人，再从这5人中任取2人，求恰有1人年龄在20至50岁的概率．

18．（本小题满分12分）
  平面图形ABB1 Al C1C如图l所示，其中BBlC1C是矩形，BC=2，BB1 =4，AB=AC= ，A1B1=A1C1= 可，现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BBlC1C，垂直，再分别连接A1A，A1B，A1C，得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题．
  （1）证明：AA1⊥BC；
  （2）求AA1的长；
  （3）求二面角A—BC—A1的余弦值．
 
19．（本小题满分13分）
  已知椭圆 经过点 ，其离心率为 ．
  （1）求椭圆C的方程；
  （2）设直线 与椭圆C相交于A．B两点，以 线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点．求|OP|的取值范围．

20．（本小题满分13分）
  一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数n≥5）：第一行是以4 为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的 和，例如： （2，1）= （1，1）+ （1，2）； （i，j）为数表中第i行的第j个数．
     （l,1）   （1,2）  …   （l,n-l）   （l，n）
     （2,1）   （2,2）  …   （2,n-l）
     （3，1）  …   （3，n-2）
              ……
           （n，1）
（1）求第2行和第3行的通项公式 （2，j）和 （3，j）；
（2）证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求 '（i，1）  关于：i（i=1，2，…，n）的表达式；
（3）若 ，试求一个等比数列g（i）（i=1，  2，…n），使得 ，且对于任意的 均存在实数 ，当 时，都有Sn>m．

21．（本小题满分13分）
  已知函数
  （1）若函数g（x）= 一ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；
  （2）在（1）的条件下，若 ，求h（x）的极小值；
  （3）设 ，若函数F（x）存在两个零点m，n（0<rn<n），且2x0=m+n．问：函数F（x）在点（x0，F（x0））处的切线 能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由，

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