倍角三角形中的一个结论
湖北省黄石市下陆中学 宋毓彬
例1（天津市中考题）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对应的边分别用a、b、c表示。
⑴如图1，在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°。求证：a2=b（b+c）
⑵如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”。本题第一问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角△ABC，如图2，∠A=2∠B，关系式a2=b（b+c）是否仍然成立？并证明你的结论。
分析：⑴在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°，△ABC为Rt△，∠C=90°。
证法1：Rt△ACB中a=
c，b=
c，
c，b=c，所以a2=（c）2=
c）2=
，b（b+c）=c（c+c）=，
所以a2=b（b+c）。
⑵对于任意的倍角△ABC，∠A=2∠B，关系式a2=b（b+c）仍然成立。
如图2，延长BA至D，使AD=AC=b，连CD。
则∠CAB=2∠D，∴∠B=∠D，BC=CD=a，
由△ADC∽△CDB 
，即
。
，即。所以a2=b（b+c）。
由以上的证明，可以得到关于倍角三角形的一个结论：一个三角形中有一个角等于另一个角的两倍，2倍角所对边的平方等于一倍角所对边乘该边与第三边的和。
（例2中另外两种证法同样可证得a
2=b（b+c）。）
例2(2009年全国初中数学联赛)在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的2倍，且AB=7，AC=8。则BC=（ ）
（A）7
（B）10 （C）
（D）7
（B）10 （C） （D）7分析：此题由例1中的结论，则BC2=7（7+8）=105，所以BC=
。
以下还可以提供几种解法供参考。
解法一：分割法。
如图1，作∠CAB的平分线AD交BC于D。
△ABC∽△DBA，
=
=
，
==，∴
解得
∴ x+y=。
解得∴ x+y=。评析：解法一的思路是常规思路，平分倍角构造相似三角形，通过相似比得到方程组求出线段长，进而求出BC的长。但这种方法中，二元二次方程组的计算较为复杂。
解法二：构造法。
如图2，延长CA至点D，使AD=AB。
则∠D=∠ABD=∠CAB=∠C，
∠CAB=∠C，△CBD∽△DAB，
=
，
=，∴BD2=AB·CD=7×（8+7）=105，BD=，
，又∠C=∠D，∴BC=BD=。
。评析：利用二倍角为外角构造等腰三角形也是常见的作辅助线的技巧。BD为相似三角形比例中项，与方法一相比，计算相对简单。
解法三：综合法
作∠CAB的平分线AD交BC于D。作BE∥AD。
△ADC∽△BAE，
=
，①
=，①△ADC∽△EBC，
=
，②
=，②①×②，
=
，（x+y）2=7×15，x+y=
=，（x+y）2=7×15，x+y=。
解析：由△ADC∽△BAE，BE∥AD，方法三事实上已将方法一、方法二统一了起来。所反映的本质是相同的。
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