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04-21
高中数学也是有一定的难度，特别是等差数列求和公式的相关知识点，有些朋友还是不知道等差数列求和方法，今天就让留学群来告诉大家等差数列求和公式方法。
等差数列是常见数列的一种，可以用AP表示，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。例如：1,3,5,7,9……(2n-1)。等差数列{an}的通项公式为：an=a1+(n-1)d。前n项和公式为：Sn=n*a1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2。注意： 以上整数。
等差数列求和：Sn=n*a1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2. 等差数列是常见数列的一种，可以用AP表示，假如一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
末项=首项+(项数-1)×公差;
项数=(末项-首项)÷公差+1;
首项=末项-(项数-1)×公差;
和=(首项+末项)×项数÷2;
末项：最后一位数;
首项：第一位数;
项数：一共有几位数;
和：求一共数的总和;
在通项公式可以看出，a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0.
在等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1)，(类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=...=p(k)+p(n-k+1))，k∈{1,2,…,n}.
如m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)=(2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…成等差数列，等等。若m+n=2p，则a(m)+a(n)=2*a(p).
证明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n);p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q);因为m+n=p+q，所以p(m)+p(n)=p(p)+p.
看完上面文章所介绍的等差数列求和公式内容之后，不知道大家看不看的懂这些知识，如果你还有不明白的地方的话，那就找老师来请教一下吧。
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04-15
数学方面有公式计算可能朋友们都不知道是怎样的，比如我们常说的等比数列求和公式，今天留学群小编就带大家来了解下这方面的详细内容，想深入了解的朋友可以参考下。
公式：q≠1时 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)q=1时，Sn=na1。
1.等比数列求和公式是求等比数列之和的公式。如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，常用G、P表示，这个常数叫做等比数列的公比。
2.数列是函数概念的继续和延伸，是定义在自然集或它的子集{1,2,…,n}上的函数。对于等差数列而言，可以把它看作自然数n的“一次函数”，前n项和是自然数n的“二次函数”。等比数列可看作自然数n的“指数函数”。
3.形如y=a^x(a>0且a≠1) (x∈R)的函数叫作指数函数。也就是说以指数为自变量，底数为大于0且不等于1的常量的函数称为指数函数，它是初等函数中的一种。它是定义在实数域上的单调、下凸、无上界的可微正值函数。 数学术语指数函数是数学中重要的函数。
上述文章就是留学群小编要给大家分享的内容了，希望朋友们看完等比数列求和公式是怎样的后都能完全理解。关注我们，每天更新不一样的文章知识点。
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等比数列是高中数学中一个十分重要的知识点，同时也是考试中一个常见的考点。下面是由留学群编辑为大家整理的“等比数列求和公式推导过程是什么”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。
等比数列前n项和公式
公式中a1为数列首项，q为等比数列的公比，Sn为前n项和。
等比数列求和公式推导
方法1：
第一项:a1, 公比:q
a1=a1
a2=a1•q¬
a3=a1•q¬2
a4=a1•q¬3
an=a1•q¬n-1
an+1=a1•qn¬
Sn+1=a1+a1•q¬+a1•q¬2+a1•q¬3+…+a1•q¬n-1+ a1•qn¬
Sn+1=a1+q(a1•q¬+a1•q¬2+a1•q¬3+…+a1•q¬n-1)
Sn+ a1•qn =a1+q•Sn
Sn-q•Sn= a1-a1•qn
Sn= a1•(1- qn)/(1-q)
方法2：
(1)Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)
(2)q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q
=a2+a3+a4+...+a(n+1)
(3)Sn-q*Sn=a1-a(n+1)
(4)(1-q)Sn=a1-a1*q^n
(5)Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q)
(6)Sn=(a1-an*q)/(1-q)
(7)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
(8)Sn=k*(1-q^n)~y=k*(1-a^x)
拓展阅读：等比数列求通项方法
11-13
等差数列是高中数学一个重要的知识点，也是考试中经常出现的一个考点。下面是由留学群编辑为大家整理的“等差数列求和公式怎么推导 有哪些推导方法”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。
等差数列求和公式推导过程：
设首项为a1 , 末项为an , 项数为n , 公差为 d , 前 n项和为Sn , 则有:Sn=(a1+an)n/2 ;Sn=na1+n(n-1)d/2(d为公差)
当d≠0时，Sn是n的二次函数，(n，Sn)是二次函数 的图象上一群孤立的点。利用其几何意义可求前n项和Sn的最值。
注意：公式一二三事实上是等价的，在公式一中不必要求公差等于一。
求和推导 证明：由题意得： Sn=a1+a2+a3+。。。+an①
Sn=an+a(n-1)+a(n-2)+。。。+a1②
①+②得： 2Sn=[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an](当n为偶数时)
Sn={[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]}/2
Sn=n(A1+An)/2 (a1，an，可以用a1+(n-1)d这种形式表示可以发现括号里面的数都是一个定值，即(A1+An)
拓展阅读：等比数列的五个基本公式
(1)等比数列的通项公式是：
An=A1×q^(n-1)
若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q>0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
(2) 任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)
(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：
a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}
(4)等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
(5) 等比求和：Sn=a1+a2+a3+.......+an
①当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)
②当q=1时， Sn=n×a1(q=1)
记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
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在遇到等差数列的题目时，一定要仔细观察数列之间的规律，利用公式解题。下面是由留学群编辑为大家整理的“等差数列求和公式以及推导所用的方法”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。
求和公式：
1、等差数列基本公式：末项=首项+(项数-1)*公差项数=(末项-首项)÷公差+1首项=末项-(项数-1)*公差和=(首项+末项)*项数÷2末项：最后一位数首项：第一位数项数：一共有几位数和：求一共数的总和。
2、Sn=na(n+1)/2n为奇数
sn=n/2(An/2+An/2+1)n为偶数
3、等差数列如果有奇数项，那么和就等于中间一项乘以项数，如果有偶数项，和就等于中间两项和乘以项数的一半，这就是中项求和。
4、公差为d的等差数列{an｝，当n为奇数是时，等差中项为一项，即等差中项等于首尾两项和的二分之一，也等于总和Sn除以项数n。将求和公式代入即可。当n为偶数时，等差中项为中间两项，这两项的和等于首尾两项和，也等于二倍的总和除以项数n。
推导方法：
(1)从通项公式能够看出，a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。
(2)从等差数列的概念、通项公式，前n项和公式还可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1)，(类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。。。=p(k)+p(n-k+1))，k∈{1,2,…,n}。
(3)若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)=(2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…成等差数列，等等。若m+n=2p，则a(m)+a(n)=2*a(p)。
证明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n);p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q);由于m+n=p+q，因此p(m)+p(n)=p(p)+p。
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等差数列求和怎么算呢？公式又有哪些呢？同学们快来和小编一起看看吧。下面是由留学群小编为大家整理的“等差数列求和公式是什么”，仅供参考，欢迎大家阅读。
等差数列求和公式
公式： Sn=（a1+an）n/2
Sn=na1+n（n-1）d/2； （d为公差）
Sn=An2+Bn； A=d/2，B=a1-（d/2）
和为 Sn，首项 a1，末项 an，公差d，项数n，
通项：
首项=2×和÷项数-末项；
末项=2×和÷项数-首项；
末项=首项+（项数-1）×公差；
项数=（末项-首项）（除以）/ 公差+1；
性质：
若 m、n、p、q∈N，
①若m+n=p+q，则am+an=ap+aq，
②若m+n=2q，则am+an=2aq，
注意：上述公式中an表示等差数列的第n项。
拓展阅读：等差数列推论
（1）从通项公式可以看出，a（n）是n的一次函数（d≠0）或常数函数（d=0），（n，an）排在一条直线上，由前n项和公式知，S（n）是n的二次函数（d≠0）或一次函数（d=0，a1≠0），且常数项为0。
（2）从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a（1）+a（n）=a（2）+a（n-1）=a（3）+a（n-2）=…=a（k）+a（n-k+1），（类似：p（1）+p（n）=p（2）+p（n-1）=p（3）+p（n-2）=。。。=p（k）+p（n-k+1）），k∈{1，2，…，n}。
（3）若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a（m）+a（n）=a（p）+a（q），S（2n-1）=（2n-1）*a（n），S（2n+1）=（2n+1）*a（n+1），S（k），S（2k）-S（k），S（3k）-S（2k），…，S（n）*k-S（n-1）*k…成等差数列，等等。若m+n=2p，则a（m）+a（n）=2*a（p）。
证明：p（m）+p（n）=b（0）+b（1）*m+b（0）+b（1）*n=2*b（0）+b（1）*（m+n）；p（p）+p（q）=b（0）+b（1）*p+b（0）+b（1）*q=2*b（0）+b（1）*（p+q）；因为m+n=p+q，所以p（m）+p（n）=p（p）+p。
（4）其他推论：
①和=（首项+末项）×项数÷2；
②项数=（末项-首项）÷公差+1；
③首项=2x和÷项数-末项或末项-公差×（项数-1）；
④末项=2x和÷项数-首项；
⑤末项=首项+（项数-1）×公差；
⑥2（前2n项和-前n项和）=前n项和+前3n项和-前2n项和。
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数学是许多学生的难点，那么高中的等比数列求和公式是什么呢?快来和小编一起看看吧。下面是由留学群小编为大家整理的“等比数列求和公式是什么”，仅供参考，欢迎大家阅读。
等比数列求和公式
1.等比数列通项公式
an=a1×q^(n-1);
推广式：an=am×q^(n-m);
2.等比数列求和公式
Sn=n×a1(q=1);
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)=a1(q^n-1)/(q-1)(q≠1);
(q为公比，n为项数)。
3.等比数列求和公式推导
(1)Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q);
(2)q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q=a2+a3+a4+...+a(n+1);
(3)Sn-q*Sn=a1-a(n+1);
(4)(1-q)Sn=a1-a1*q^n;
(5)Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q);
(6)Sn=(a1-an*q)/(1-q);
(7)Sn=a1(1-q^n)/(1-q);
(8)Sn=k*(1-q^n)~y=k*(1-a^x)。
拓展阅读：等比数列的性质
(1)若m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq。
(2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。
(3)若“G是a、b的等比中项”则“G2=ab(G≠0)”。
(4)若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…{can}，c是常数，{an×bn}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。
(5)若(an)为等比数列且各项为正，公比为q，则(log以a为底an的对数)成等差，公差为log以a为底q的对数。
(6)等比数列前n项之和。
在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。
注意：上述公式中An表示A的n次方。
(7)由于首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式可以写成an=(a1/q)×qn，它的指数函数y=ax有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。
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等差数列是高中数学的重点之一，那么等差数列求和公式有哪些呢?快来和小编一起看看吧。下面是由留学群小编为大家整理的“等差数列求和公式有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。
公式法
an=a1+(n-1)d。
前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2。
若公差d=1时：Sn=(a1+an)n/2；
若m+n=p+q则：存在am+an=ap+aq；
若m+n=2p则：am+an=2ap。
以上n均为正整数。
倒序相加法
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an)。
Sn =a1+ a2+ a3+...... +an。
Sn =an+ an-1+an-2...... +a1。
上下相加得Sn=(a1+an)n/2。
分组法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。
例如：an=2n+n-1，可看做是2n与n-1的和；
Sn=a1+a2+...+an
=2+0+22+1+23+2+...+2n+n-1
=(2+22+...+2n)+(0+1+...+n-1)
=2(2n-1)/(2-1)+(0+n-1)n/2
=2n+1+n(n-1)/2-2
观察法
观察法，是通过观察题目中数字的变化规律及位置特点，条件与结论之间的关系，题目的结构特点及图形的特征，从而发现题目中的数量关系，把题目阶段解答出来的一种解题方法。观察要有次序，要看的仔细、真切、在观察中要动脑，要想出道理、找出规律。
假设法
当遇到一些条件少、无法下手的题目时，我们可假设一些简单好算的数量，或将运动变化的问题假设或静止特殊的问题;对条件多、无法理清头绪的题目，将其中几个不同的条件假设相同等等，这样将会冲破常规思维的禁锢，获得巧解，这也是灵活应用极端化的策略。
代数法
在解答数学问题时，用字母代替未知数，根据等量关系列出方程，从而求出结果，这种方法称为代数法。学会用代数法解题，好比掌握了解题的金钥匙。
整形结合
在非常有趣的数学学科中“数”与“形”就像一对形影不离的亲兄弟，几乎所有的数量关系或数学规律都可以用直观的示意图来反映。正如著名数学家华罗庚所言：“数缺形时少直观，形少数时难人数”，解题时如果能用到数形结合的策略分析解答，就会充分发挥“数”与“形”的互助作用，使问题非常直观、易懂、收到不解自明的效果。
逆推法
小学的等差数列求和公式，同学们还有印象吗?如果没有了，请来小编这里瞧瞧。下面是由留学群小编为大家整理的“等差数列求和公式小学”，仅供参考，欢迎大家阅读。
等差数列求和公式小学
等差数列求和公式：Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2。等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
数列(sequence of number)，是以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数，是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用an表示。
拓展阅读：数列求和公式七个方法
数列求和公式七个方法：公式法、列项相消法、错位相减法、分解法、分组法、倒序相加法、特殊数列求和。推导等差数列的前n项和公式的方法是倒序相加法。而且这个方法可以类推到一般情况，只要前n项具有与两端等距离项的和相等的数列这种特征都可用这种方法求和。
三角函数什么时候学
三角函数是初中数学九年级的内容。包括正弦、余弦和正切.。高中时也会学到，比初中讲的更为详细。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。
正弦值定义
弦值是在直角三角形中，对边的长比上斜边的长的值。任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。正弦sinθ也可以理解为顶角度数为θ的单位等腰三角形与单位等腰直角三角形的面积之比。
sin30°=1╱2，sin45°=√2╱2，sin60°=√3╱2，sin90°=1，sin180°=0，sin0°=0，sin270°=-1
什么是余弦
cos是cosine的简写，表示余弦函数(邻边比斜边)，古代说法，正弦是股与例，古代说的“勾三股四弦五”中的“弦”，就是直角三角形中的斜边.股就是人的大腿，长长的，古人称直角三角形中长的那个直角边为“股”;正方的直角三角形，应是大腿站直。正弦是股与弦的比例，余弦是余下的那条直角边与弦的比例。
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等差数列求和公式有哪些呢?不知道高考完的同学还会记得不，如果不记得了，请来小编这里瞧瞧。下面是由留学群小编为大家整理的“等差数列求和公式有什么呢”，仅供参考，欢迎大家阅读。
等差数列求和公式有什么呢
等差数列求和公式是(首项+末项)×项数/2，数列求和对按照一定规律排列的数进行求和。常见的方法有公式法、错位相减法、倒序相加法、分组法、裂项法、数学归纳法、通项化归、并项求和等，属于高中代数的内容，在高考及各种数学竞赛中占据重要的部分。
以下介绍常见计算方法所需要的公式：
公式法：等差数列求和公式是(首项+末项)×项数/2。
错位相减法：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式(等差等比数列相乘)。
倒序相加法：这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，具体推理过程
Sn =a1+ a2+ a3+...... +an
Sn =an+ an-1+an-2...... +a1
上下相加得Sn=(a1+an)n/2
分组法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。
裂项相消法：适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)-f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。
拓展阅读：什么是“向量的几何表示
1 向量的定义:既有大小又有方向的量叫做向量.如物理学中的力,位移,速度等.向量可用字母a,b,c等表示,也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示(起点写在前面,终点写在后,上面划箭头).
2 向量的模:向量AB的大小(即是向量AB的长度)叫做向量AB的模.
* 向量的模是一个非负实数,是只有大小而没有方向的标量.
3 零向量,单位向量,平行向量,共线向量,相等向量的概念
(1)零向量:长度(模)为零的向量叫零向量,记做0.
*零向量的方向可看做任意方向,规定零向量与任一向量平行.
(2)单位向量:长度(模)为1个单位长度的向量叫做单位向量.
(3)平行向量:方向相同或相反的非零向量叫平行行量.
*因为任一组平行向量都可移到同一直线上,所以平行向量又叫做共线向量.
(4)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
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