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2021考研数学高数重要定理：函数与极限
函数与极限
1、函数的有界性在定义域内有f（x）&geK1则函数f（x）在定义域上有下界，K1为下界如果有f（x）&leK2，则有上界，K2称为上界。函数f（x）在定义域内有界的充分要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理（极限的性）数列xn不能同时收敛于两个不同的极限。
定理（收敛数列的有界性）如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界。
如果数列xn无界，那么数列xn一定发散但如果数列xn有界，却不能断定数列xn一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，（-1）n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的要条件而不是充分条件。
定理（收敛数列与其子数列的关系）如果数列xn收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列xn有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列xn是发散的，如数列1，-1，1，-1，（-1）n+1…中子数列x2k-1收敛于1，xnk收敛于-1，xn却是发散的同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中
定理（极限的局部保号性）如果lim（x&rarrx0）时f（x）=A，而且A>0（或A0（或f（x）>0），反之也成立。
函数f（x）当x&rarrx0时极限存在的充分要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f（x0-0）=f（x0+0），若不相等则limf（x）不存在。
一般的说，如果lim（x&rarr&infin）f（x）=c，则直线y=c是函数y=f（x）的图形水平渐近线。如果lim（x&rarrx0）f（x）=&infin，则直线x=x0是函数y=f（x）图形的铅直渐近线。
4、极限运算法则定理：有限个无穷小之和也是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小定理如果F1（x）&geF2（x），而limF1（x）=a，limF2（x）=b，那么a&geb.
5、极限存在准则：两个重要极限lim（x&rarr0）（sinx/x）=1lim（x&rarr&infin）（1+1/x）x=1.夹逼准则如果数列xn、yn、zn满足下列条件：yn&lexn&lezn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。
单调有界数列有极限。
6、函数的连续性：设函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f（x）当x&rarrx0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f（x0），即lim（x&rarrx0）f（x）=f（x0），那么就称函数f（x）在点x0处连续。
不连续情形：1、在点x=x0没有定义2、虽在x=x0有定义但lim（x&rarrx0...
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