数学分析试题

　 　　数学分析(Mathematical Analysis)发展自微积分(Calculus)，微积分是数学分析中最古老、最基本的学科分支。数学分析一般指以微积分学和无穷级数一般理论为主要内容，并包括它们的理论基础(实数、函数和极限的基本理论)的一个较为完整的数学学科。尽管数学分析只是数学的一个分支，但其应用范围非常广泛，几乎是所有高等数学的基础。

　　数学分析17世纪由牛顿和莱布尼兹分别独立创立，19世纪经柯西和魏尔斯特拉斯完善奠基成型。从牛顿开始就将微积分学及其有关内容称为分析。其后，微积分学领域不断扩大，但许多数学家还是沿用这一名称。时至今日，许多内容虽已从微积分中分离出去，成了独立的学科，而人们仍以分析统称之。数学分析也简称为分析。

　　　　分支领域

　　数学分析在当前被分为以下几个分支领域：

　　实分析：是对于实值函数的微分和积分进行形式严谨(formally rigorous)的研究。这包括对极限、幂级数和测度的研究。

　　泛函分析：研究函数空间和介绍例如巴拿赫空间以及希尔伯特空间的概念。

　　调和分析：处理傅里叶级数以及其抽象。

　　复分析：是对从复平面到复平面的复数可微函数的研究。

　 　大学排名

　　USNEWS美国大学数学分析排名：

　　排名学校学校英文名州/城市

　　1 普林斯顿大学Princeton University Princeton, NJ

　　2 加州大学伯克利分校University of California–Berkeley Berkeley, CA

　　3 加州大学洛杉矶分校University of California–Los Angeles Los Angeles, CA

　　4 芝加哥大学University of Chicago Chicago, IL

　　5 纽约大学New York University New York, NY

　　6 麻省理工学院Massachusetts Institute of Technology Cambridge, MA

　　7 斯坦福大学Stanford University Stanford, CA

　　8 密歇根大学安娜堡分校University of Michigan–Ann Arbor Ann Arbor, MI

　　9 哈佛大学Harvard University Cambridge, MA

　　10 威斯康辛大学麦迪逊分校University of Wisconsin–Madison Madison, WI

　　11 德克萨斯大学奥斯汀分校University of Texas–Austin Austin, TX

　　12 加州理工学院California Institute of Technology Pasadena, CA

　　12 耶鲁大学Yale University New Haven, CT

　　14 明尼苏达大学双城分校University of Minnesota–Twin Cities Minneapolis, MN

　　15 康奈尔大学Cornell University Ithaca, NY

　　16 哥伦比亚大学Columbia University New York, NY

　　16 印第安纳大学伯明顿分校Indiana University–Bloomington Bloomington, IN

　　18 布朗大学Brown University Providence, RI

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　　五邑大学2018年考研大纲：数学分析

　　《数学分析》考试大纲

　　一、课程性质、目的和任务

　　数学分析是本科数学学科各专业的基础课程，通过本课程的学习，培养学生具备比较扎实的函数理论、严谨逻辑思维能力、锻炼学生的空间想象力、掌握应用函数理论解决相关实际问题的能力，为最终使学生具有较好的数学素质打下坚实的基础。

　　二、基本要求

　　掌握实数的完备性理论、极限理论、函数的连续性理论、微积分理论、级数理论。能应用所学的函数理论分析、解决实际问题。

　　三、考试范围

　　(一) 实数与函数

　　1. 实数的分类与主要性质, 绝对值与不等式 (A)

　　不足近似和过剩近似及其应用 (B)

　　2. 区间、邻域、确界的概念 (A)

　　确界原理 (A)

　　3. 函数的相关概念、表示法 (A)

　　函数的四则运算、复合、反函数 (B)

　　函数的图象 (C)

　　初等函数 (C)

　　4. 四类具有特殊性质的函数 (B)

　　(二) 数列极限

　　1. 极限思想 (B)

　　数列极限概念 (A)

　　2. 收敛数列的性质 (A)

　　收敛数列的四则运算法则 (B)

　　一些常见的极限 (A)

　　子列及其性质 (A)

　　3. 单调有界定理、柯西准则及其应用 (A)

　　(三) 函数极限

　　1.各种类型的函数极限的概念 (A)

　　2.函数极限的性质及其应用 (A)

　　3.归结原理、柯西准则及其应用 (A)

　　4.两个重要极限 (A)

　　5.无穷小与无穷大的概念、相互关系 (B)

　　无穷小的比较 (C)

　　等价无穷小及其应用 (A)

　　函数的渐近线及其求法 (A)

　　(四) 函数的连续性

　　1.连续的概念 (A)

　　间断点及其分类 (B)

　　2.连续函数的局部性质和整体性质 (A)

　　反函数与复合函数的连续性 (A)

　　3.初等函数的连续性 (B)

　　(五)导数和微分

　　1.导数的概念、几何意义 (A)

　　2.求导法则 (A)

　　3.参变量函数的求导法则 (A)

　　4.微分概念、微分的运算法则 (A)

　　微分在近似计算的应用 (B)

　　5.高阶导数与高阶微分的概念、求法 (A)

　　Leibniz公式 (B)

　　高阶微分 (B)

　　(六) 微分中值定理及其应用

　　1.罗尔定理、拉格朗日定理与函数的单调性 (A)

　　2.柯西中值定理 (A)

　　3.泰勒公式及其应用 (A)

　　常用的几个函数的马克劳林展式 (A)

　　4.洛比达法则及其应用 (A)

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　　南京信息工程大学2019考研大纲：702数学分析

　　科目代码：702

　　科目名称：数学分析

　　第一部分 大纲内容

　　一、实数集与函数

　　1 实数集及其性质 2 确界定义与确界原理 3 函数概念 4有某些特性的函数(有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数)

　　二、数列极限

　　1 数列极限概念 2 收敛数列的性质(唯一性、有界性、保号性、不等式性、迫敛性、四则运算) 3 数列极限存在的条件：包括单调有界定理与柯西(Cauchy)准则

　　三、函数极限

　　1 函数极限概念 2 函数极限的性质(唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性、迫敛性、四则运算) 3 函数极限存在的条件：包括归结原则(Heine 定理)，单调有界定理与柯西准则 4 两个重要极限 5 无穷小量，无穷大量, 非正常极限，阶的比较，曲线的渐近线

　　四、函数的连续性

　　1 连续性概念，间断点及其分类 2 连续函数的性质(有界性、保号性、连续函数的四则运算、复合函数的连续性、反函数的连续性;闭区间上连续函数的有界性、取得最大值最小值性、介值性、一致连续性)3 实数集完备性的基本定理的应用 4 初等函数的连续性

　　五、导数与微分

　　1 导数的概念 2 求导法则 3 微分概念 4 高阶导数与高阶微分 5参量方程所确定的函数的导数

　　六、微分中值定理及其应用

　　1 中值定理(罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理) 2 不定式极限 3 泰勒公式(及其皮亚诺余项与拉格朗日余项、一些常用初等函数的泰勒展开式、应用于近似计算) 4 函数的单调性、极值、最大值与最小值 5 函数的凸性与拐点 6 函数图象的讨论

　　七 不定积分

　　1原函数与不定积分概念，基本积分公式 2 换元积分法与分部积分法 3 有理函数和可化为有理函数的积分

　　八、定积分

　　1定积分的概念及其几何意义 2 可积条件的应用(包括必要条件，可积准则)，三类可积函数 3 定积分的性质(线性运算法则、区间可加性、不等式性质、绝对可积性，积分中值定理) 4 微积分学基本定理，定积分的分部积分法与换元法

　　九、反常积分

　　1无穷限反常积分概念、柯西准则，绝对收敛与条件收敛 2无穷限反常积分收敛性判别法：比较判别法及p-函数判别法，狄利克雷(Dirichlet)判别法，阿贝尔(Abel)判别法 3无界函数反常积分概念，无界函数反常积分比较判别法及p-函数判别法

　　十、定积分的应用

　　1 平面图形的面积 2 由截面面积求体积、旋转体的体积 3 曲线的弧长与曲率 4 旋转曲面的面积

　　十一、数项级数

　　1 级数收敛的概念，柯西收敛准则，收敛级数的性质 2 正项级数收敛判别法(比较判别法、p-级数判别法、比式与根式判别法、积分判别法) 3 一般项级数的绝对收敛与条件收敛、交错级数的莱布尼兹判别法，阿贝尔(Abel)判别法与狄利克雷(Dirichle...

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