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函数的定义
函数在数学上的定义：给定一个非空的数集A,对A施加对应法则f,记作f(A),得到另一数集B,也就是B=f(A).那么这个关系式就叫函数关系式,简称函数.
简单来讲，对于两个变量x和y，如果每给定x的一个值，y都有唯一一个确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数。其中，x叫做自变量，y叫做因变量。
怎么求函数定义域
求函数定义域的方法：函数f(x+1)的定义域为(0,1)，指的是x取值在0，1之间，那么x+1取值为1，2之间。设y=x+1，则f(x+1)=f(y)，在f(y)这个函数中，自变量是y，其取值范围是1，2，所以f(y)的定义域是(1，2)。
求函数的定义域需要从这几个方面入手：
1、分母不为零
2、偶次根式的被开方数非负。
3、对数中的真数部分大于0。
4、指数、对数的底数大于0，且不等于1。
5、y=tanx中x≠kπ+π/2。
6、y=cotx中x≠kπ。
已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义
1、表达式中出现分式时：分母一定满足不为0;
2、 表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数;开偶次方时，根号下满足大于或等于0(非负数);
3、表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0;
4、根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0;
5、表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x，必须满足指数底数大于0且不等于1.(0<底数<1;底数>1);
6、表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可;自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大0且不等于1。[ f(x)=logx(x²-1) ]。
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已知函数解析式时
1、分式时：分母不为0。
2、根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0。
3、指数时：当指数为0时，底数一定不能为0。
4、根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0。
5、指数函数形式时：底数和指数都含有x，指数底数大于0且不等于1。
6、对数函数形式，自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大0且不等于1。
抽象函数换元法
1、给出了定义域就是给出了所给式子中x的取值范围。
2、在同在同一个题中x不是同一个x。
3、只要对应关系不变，括号的取值范围不变。
4、求抽象函数的定义域，关键在于求函数的取值范围，及括号的取值范围。
复合函数定义域：理解复合函数就是可以看作由几个我们熟悉的函数组成的函数，或是可以看作几个函数组成一个新的函数形式。
1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示;
2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题;
3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等;
4、对复合函数y=f[g(x)]的定义域的求解，应先由y=f(u)求出u的范围，即g(x)的范围，再从中解出x的范围I1;再由g(x)求出y=g(x)的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域;
5、分段函数的定义域是各个区间的并集;
6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明;
7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域。
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求函数定义域的方法
函数定义域的求法:(1)分式的分母不能为零;(2)偶次方根的内部必须非负即大于等于零;(3)对数的真数为正，对数的底数大于零且不等于1;(4)x 0中，x≠0。
一、求解方法
1、组合函数
由若干个基本函数通过四则运算形成的函数，其定义域为使得每一部分都有意义的公共部分。
原则:(1)分式的分母不能为零;(2)偶次方根的内部必须非负即大于等于零;(3)对数的真数为正，对数的底数大于零且不等于1;(4)x 0中，x≠0。
2、复合函数
若y=发(u)，u=g(x)，则y=f[g(x)]就叫做f和g的复合函数。其中y=f(U)叫做外函数，u=g(x)叫做内函数。
例如:(1)已知y=f(x)的定义域D 1，求y=f[g(x)]的定义域D 2。
解法:解不等式:g(x)∈D 1
(2)已知y=f[g(x)]的定义域D 1，求y=f(x)的定义域D 2。
解法:令u=g(x),x∈D 1，求函数g(x)的值域。
二、求函数定义域一般原则
①如果为整式，其定义域为实数集;
②如果为分时，其定义域是是分母不为0的实数集合;
③如果是二次根式(偶次根式)，其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合;
④如果是由以上几个部分的数学式子构成的，其定义域是使各个式子都有意义的实数集合。
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